Алексей и Василий Чуевы принимали непосредственное участие в сборке ледокола «И.Сталин», который в 1938 году достиг в активном арктическом плавании 83-й параллели, в сборке нового крейсера «Киров». В 1940 году он выполнил за 10 месяцев 31-месячное задание.

Когда началась Великая Отечественная война, Алексей Чуев, как ценный специалист-металлист, мог остаться на производстве и получить бронь, но добился призыва в армию. Окончил школу младших авиаспециалистов, а затем авиационное училище. Провёл в воздухе 237 часов. В 1948 году был демобилизован и вернулся на родной завод.

Работал, как и прежде, в седьмом цехе, стал обрабатывать на токарном станке «Лебонд» гребные валы для новых судов. Вместе с напарником после долгих поисков создал новый резец, который в 10 раз уменьшал время на чистовой обточке гребного вала. Через некоторое время восстановил более мощный станок, повреждённый еще во время бомбовых налетов гитлеровцев. Вернув станок в строй, продолжал на нем работать. Именно на нём вытачивали валы для первых крупных танкеров серий «Пекин», «София», «Великий Октябрь».

Указом Президиума Верховного Совета за большие заслуги в деле создания и производства новых типов ракетного вооружения, а также атомных подводных лодок и надводных кораблей, оснащённых этим оружием, и перевооружения кораблей Военно-Морского Флота ему присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

Работая на заводе, А.В.Чуев внёс значительный вклад в создание многих современных и уникальных судов. Указом Президиума Верховного Совета СССР большой вклад в строительство атомного ледокола «Арктика» Чуев Алексей Васильевич награждён орденом Ленина и второй золотой медалью «Серп и Молот». Стал дважды Героем Социалистического Труда.

Жил в городе Ленинград. Скончался 20 ноября 1976 года. Похоронен на Северном кладбище Санкт-Петербурга.